XX-lecie istnienia Wydziału Matematyki i Informatyki UŁ sesja naukowa 18 listopada 2016 r. „Nowa tematyka badawcza w matematyce i informatyce”

W dniu 18 listopada 2016 r. (piątek) z okazji  XX-lecie istnienia Wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego odbyła się sesja naukowa „Nowa tematyka badawcza w matematyce i informatyce”.

Zapraszamy do galerii zdjęć (fot. S.Wojczyk):  _DSC1618

Szczegółowy program sesji z abstraktami:

„Nowa tematyka badawcza w matematyce i informatyce” 

9.00-9.10 Otwarcie sesji: 

wystąpienie Dziekana Wydziału Matematyki i Informatyki UŁ Marcina Studniarskiego

9.10-9.40 „Metody i zastosowania teorii prawdopodobieństwa.” 

Adam Paszkiewicz (współautorzy: Anna Chojnowska-Michalik, Stanisław Goldstein, Ryszard Jajte, Andrzej Łuczak, Andrzej Komisarski)

Omówimy dwa rodzaje wyników. Pierwszy to twierdzenia, które można sformułować prosto i zrozumiale, choć dowody mogą być nawet bardzo długie. Stanowią one narzędzia do dalszych wnioskowań lub wzorce analogicznych konstrukcji. Wspomnimy w szczególności: Twierdzenie R. Jajte o ważonych prawach wielkich liczb; charakteryzację szeregów zbieżnych prawie pewnie A. Paszkiewicza; istnienie produktów operatorów Pn…P1 rozbieżnych dla n  , gdy P1, P2,… wybierane są ze skończonego układu {Q1,…, Qn} projekcji, a nawet z układu wartości oczekiwanych (twierdzenie A. Komisarskiego); twierdzenie S. Goldsteina o ogólnej postaci ortogonalnej formy wektorowej na dowolnej algebrze von Neumanna.

Drugi rodzaj wyników to twierdzenia podstawowe w wybranych specjalistycznych dziedzinach, których rozwój jest niezbędny z uwagi na interpretację fizyczną i inne zastosowania. Należy tu topologiczna i teoriomiarowa analiza stochastycznych równań różniczkowych A. Chojnowskiej-Michalik, a także matematyczne uściślenia podstaw informacji i informatyki kwantowej A. Łuczaka i współpracowników.

9.45-10.05 „Nowego typu odległości jako narzędzia w metrycznej teorii punktu stałego.” 

Robert Plebaniak

Podstawowym instrumentem metrycznej teorii punktu stałego jest, jak sama nazwa wskazuje, metryka. Metryka jest dość restrykcyjnym narzędziem, od którego żąda się między innymi symetrii. Stosunkowo niedawno, w teorii punktu stałego pojawiła się koncepcja wyrażania warunków kontrakcyjnych za pomocą nowego typu odwzorowań, które uogólniają tradycyjną metrykę. Można tu wymienić wyniki D. Tataru, O. Kada, T. Suzuki i W. Takahashi, T. Suzuki, L.-J. Lin, W.-S. Du, I. V´alyi. Za pomocą tych nowych odległości, autorzy licznych prac wykazywali twierdzenia, stanowiące istotne rozszerzenia dobrze znanych w tej teorii faktów. Podczas mojego odczytu przedstawię wyniki pochodzące z różnych prac, dotyczące nowego typu odwzorowań realizujących odległość między punktami. Na zakończenie zaprezentuję także, aktualne rezultaty własnych badań dotyczące przedstawionej wyżej tematyki.

10.10-10.35 “Zbieżność ideałowa ciągów i jej zastosowania.” 

Marek Balcerzak (współautor: Małgorzata Filipczak)

Dajemy krótki przegląd wyników nt. ideałowej zbieżności wraz z zastosowaniami. W szczególności prezentujemy wkład matematyków z Łodzi w te badania w ciągu ostatnich 16 lat.

10.40-11.05 „Struktury geometryczne na rozmaitościach Riemannowskich i Finslerowskich – wzory całkowe, minimalność, entropia.” 

Kamil Niedziałomski

Aktualna działalność naukowa pracowników Katedry Geometrii dotyczy zagadnień związanych z niezmiennikami i własnościami pewnych struktur geometrycznych na rozmaitościach Riemannowskich bądź, ogólniej, Finslerowskich. Dokładniej, badane są własności foliacji na tych obiektach poprzez odpowiednie niezmienniki i wzory całkowe z nimi związane oraz oszacowania entropii działań grup. Ponadto, badania dotyczą minimalności struktur geometrycznych wyznaczonych przez redukcję grupy ortogonalnej do pewnej domkniętej podgrupy.

Celem referatu jest dokładniejsze wyjaśnienie tych zagadnień.

11.05-11.25 Przerwa na kawę 

11.25-11.45 „Optymalizacja względem dowolnych zbiorów preferencji” 

Marcin Studniarski

W niektórych modelach ekonomicznych preferencje konsumentów lub producentów są opisane za pomocą ogólnych odwzorowań preferencyjnych, niekoniecznie prowadzących do relacji częściowego porządku. Zakłada się jedynie, że decydent będący w stanie x potrafi podać zbiór stanów P(x), które uważa za lepsze od x. Na przykład firma produkująca x jednostek jakiegoś produktu chętnie zwiększyłaby produkcję do 3x (gdyby istniał na nią popyt), ale więcej wyprodukować już nie byłaby w stanie. Zatem zbiór preferowanych stanów nie jest stożkiem, czyli zawodzi tutaj klasyczna teoria optymalizacji wielokryterialnej. W referacie podam przykłady kilku twierdzeń z zakresu optymalizacji wielowartościowej (set-valued optimization), które można uzyskać w tej ogólniejszej sytuacji.

11.50-12.15 „Nierówność Łojasiewicza z gradientem i zastosowania” 

Stanisław Spodzieja

W 1962 S. Łojasiewicz udowodnił, że: Zbiór zer funkcji analitycznej w otoczeniu punktu jest retraktem deformacyjnym tego otoczenia (jeśli jest ono dostateczne małe). Rezultat ten uzyskał metodą całkowania pola gradientowego. Głównym punktem w tym dowodzie była następująca, udowodniona przez Łojasiewicza, nierówność z gradientem: Niech f : (n, a) → (, 0) będzie rzeczywistą funkcją analityczną (lub semialgebraiczną klasy C1). Wówczas istnieją stałe dodatnie C, ε oraz stała  ∈ [0, 1) takie, że zachodzi następująca nierówność Łojasiewicza z gradientem (Ł2) |∇f(x)| ≥ C|f(x)| , gdy |x − a| < ε. Kres dolny wykładników  w (Ł2), oznaczany przez a(f), nazywany jest wykładnikiem Łojasiewicza w nierówności z gradientem. Liczba a(f) jest wymierna i nierówność (Ł2) zachodzi dla każdego wykładnika  ≥a(f) i pewnych stałych dodatnich C, ε. Dowód twierdzenia o retrakcie deformacyjnym Łojasiewicz opierał się na następującym fakcie: Niech f : U → R będzie funkcją analityczną, gdzie U ⊂n jest zbiorem otwartym i niech x : [0, β) → U będzie maksymalną krzywą spełniającą układ (tj., rozwiązaniem integralnym prawostronnym układu) x0 (t) = ∇f(x(t)). Jeśli krzywa x ma punkt graniczny x0 ∈ U, tj., istnieje ciąg t ∈ [0, β) taki, że t → β i x(t) → x0, gdy ν → ∞, to długość krzywej x jest skończona oraz β = +∞. W szczególności x(t) → x0, gdy t → ∞.

Celem referatu jest przedstawienie zastosowań powyższych rezultatów.

12.20-12.45 „Modele matematyczne i metody obliczeniowe w biologii i mechanice” 

Andrzej Nowakowski

Modele matematyczne leczenia raka, gojenia się rany, rozwoju epidemii, rozwoju arteriosklerozy, czy w biologii molekularnej opisane są nieliniowymi układami równań o pochodnych cząstkowych. Podobnie sytuacja przedstawia się z modelowaniem zjawisk związanych z mechaniką płynów, obróbką mechaniczną pręta, czy przemieszczaniem się faz w metalach złożonych z kilku składników. Dotychczasowe badania tych modeli ograniczały się do udowodnienia twierdzeń o istnieniu rozwiązań w odpowiedniej klasie funkcji lub stabilności rozwiązań względem warunków początkowych, czy uzyskania pewnych jakościowych własności rozwiązań. Każde z tych równań posiada parametry, niektóre z nich mają wpływ na jakość zachowania się układu równań. Problemami które trzeba rozwiązać są: jak dobrać parametry sterujące układów równań by otrzymać rezultaty w postaci wyleczenia raka, zagojenia się rany, kontroli (zatrzymania się) rozwoju epidemii, czy arteriosklerozy. Ten sam problem dotyczy również kontroli przemieszczania się faz w metalach, czy w mechanice płynów jak również w genetyce populacyjnej. Następnie należy stworzyć algorytmy obliczeniowe pozwalające efektywnie wyliczyć (i udowodnić!) przybliżone rozwiązanie.

12.50-13.15 „O pewnych otwartych problemach związanych z dyskretnymi układami dynamicznymi w analizie abstrakcyjnej.” 

Ryszard J. Pawlak (współautorzy: Ewa Korczak-Kubiak, Anna Loranty)

Referat ten będzie zawierał nierozstrzygnięte problemy, które powstały w kontekście naszych badań i uzyskanych dotychczas wyników. Zaprezentowane zagadnienia będą głównie dotyczyły uogólnionych przestrzeni metrycznych (GMS), a w końcowej części problemów związanych z funkcjami rzeczywistymi.

Przez cały referat motywem przewodnim będzie pojęcie topologicznej entropii w dyskretnych układach dynamicznych.

W ramach naszego tematu, proponujemy zasygnalizowanie następujących zagadnień:

1. GMS Baire’a i nieskończone gry topologiczne.

2. Przedział p-jednostkowy w kontekście tranzytywności funkcji i chaosu w sensie Devaney’a.

3. Punkty ogniskujące entropię.

4. 0-aproksymatywna ciągłość i punkty nieprzewidywalne funkcji.

Jeśli czas na to pozwoli, w nawiązaniu do ostatniego tematu, zaprezentowane będą pewne pytania postawione w tym roku podczas konferencji przez prof. Pawła Walczaka i prof. Władysława Wilczyńskiego oraz związane z nimi szersze problemy.

13.15-14.30 Przerwa obiadowa (posiłek na koszt własny) 

14.30-15.30 Matematyka w konfrontacji z dzisiejszymi oraz nadchodzącymi wyzwaniami nauki, technologii i gospodarki – wykład i dyskusja

Marek Niezgódka

15.35-15.55 “Warunki brzegowe: układanka.” 

Antoni Pierzchalski

Hasło “warunki brzegowe” dla operatora różniczkowego wywołuje najczęściej skojarzenie z warunkami typu Dirichleta lub Neumanna. Celem wykładu jest pokazanie, że świat warunków brzegowych może być o wiele bogatszy. Pełny niezwykłej harmonii i symetrii. Przedstawione zostaną wyniki wspólne z T. Bransonem a także z W. Kozłowskim, A. Klekot czy z A. Kimaczyńską.

15.55- 16.15 Przerwa na kawę 

16.15-16.40 „Istnienie i ciągła zależność rozwiązań od parametrów pewnych typów równań różniczkowych i różniczkowo-całkowych.” 

Marek Majewski

W ramach referatu przedstawione zostaną główne kierunki badań prowadzonych w ostatnich latach w Katedrze Równań Różniczkowych i Informatyki.

Pierwszym nurtem badań zaprezentowanym w trakcie referatu będzie zastosowanie pojęcia całki i pochodnej ułamkowego rzędu. Oprócz wprowadzenie samych pojęć – niekoniecznie znanych szerszemu gronu matematyków zostaną przedstawione wyniki dotyczące istnienia i ciągłej zależności rozwiązań ułamkowych zagadnień różniczkowych od parametrów funkcyjnych (sterowań) oraz pewne zagadnienia optymalne opisywane układami różniczkowymi z pochodnymi ułamkowego rzędu.

Drugim zagadnieniem, które chciałbym omówić w trakcie referatu jest zastosowanie pojęcia globalnego dyfeomorfizmu przestrzeni do badania własności rozwiązań pewnych typów równań całkowych i różniczkowo-całkowych. Własność bycia dyfeomorfizmem dla pewnych operatorów związanych z tymi zagadnieniami prowadzi do prostego wniosku o istnieniu rozwiązań tych zagadnień oraz ich różniczkowalnej zależności od parametrów funkcyjnych.

16.45-17.05 „Liczbowe niezmienniki osobliwości” 

Szymon Brzostowski

W trakcie referatu opowiemy o kilku liczbowych niezmiennikach wiązanych z punktem osobliwym hiperpowierzchni zespolonej zadanej funkcją holomorficzną. Przedstawimy wybrane, otwarte zagadnienia dotyczące tychże niezmienników, ze szczególnym uwzględnieniem tych będących przedmiotem aktywnych badań w Katedrze Geometrii Algebraicznej i Informatyki Teoretycznej.

17.10-17.35 „Obcinanie gałęzi w drzewach gier” 

Piotr Beling

Celem odczytu jest zaprezentowanie i zilustrowanie przykładami wybranych algorytmów odcinania gałęzi w drzewach poszukiwań dla gier logicznych. Tego typu metody umożliwiają znaczną redukcję czasu potrzebnego do zbadania grafu gry przez algorytmy decyzyjne. Dzięki temu, algorytmy te mogą, w tym samym czasie, zbadać ten graf dokładniej (przeszukać głębiej), co poprawia ich siłę gry, a w przypadku niektórych gier umożliwia wręcz wyznaczenie optymalnej (bezbłędnej) decyzji w akceptowalnym czasie.